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お気に入りのパズル

 きょうは比較的早く帰宅することができました。午後9時に家にいられるなんて何日ぶりでしょう。一体何をしていいのかわからなくなります;-o-)
 そこでいきなりですが問題です。

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 右に8×8=64マスの平面Aがあります。これに1×2マスのパネルを隙なく、重なり合うことなく敷き詰めることはできるでしょうか。1×2マスのパネルは縦に置いても横に置いても差し支えありません。


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 まあ答えは簡単です。平面Aは64マスあるわけですから、パネルを32枚使えば敷き詰めることができます。
 右図は適当に敷き詰めた例です。


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 では、右の平面Bならどうでしょう。平面Aから、対角の隅にある2マスを除いた形になってます。マスの数は62マスですので、パネル31枚を使えば隙なく、重なり合うことなく敷き詰められそうですが、具体的な例を挙げることができるでしょうか。

 次の画像で解答を示しますので、少し考えてみてください。



 準備はよろしいでしょうか。


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 解答に移ります。
 説明のため、平面Bを市松模様に塗ってみました。色のついた部分は32マス、色のない部分は30マスとなりました。
 さて、ここに1×2のパネルを1枚置くと、どう置いても(縦に置いても横に置いても)色のついた部分と色のない部分をそれぞれ1マスずつ潰すことになることがわかります。
 …ということは、もし1×2のパネルで敷き詰められるとすれば、色のついた部分と、塗っていない部分のマスの数は同じでなければならないことがわかります。
 平面Bを市松模様に塗り分けた際に、色のついた部分は32マス、塗っていない部分は30マスとなりましたので、どうがんばってもパネルを15枚置いたところで色のついたマスが2つ余ってしまうことがわかります。

 よって平面Bを1×2のパネルで敷き詰めることは絶対にできません。平面が10000×10000-2マスであっても同様です(ただし「対角の角が」欠けていることが重要です)。
 算数の授業で5分くらい時間が余った時に使えるかもしれませんのでお役立てください;-o-)